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By Ina Kersten

ISBN-10: 393861689X

ISBN-13: 9783938616895

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Insbesondere ist ZA (B) eine einfache K-Algebra mit Zentrum Z(ZA (B)) = Z(B) . Ferner gilt: Ist B kommutativ, also B ⊂ ZA (B) , so ist ϕ(1 ⊗ b) = b ⊗ 1 f¨ ur alle b ∈ B . Beweis. Sei E := EndK B . Es ist dann K verm¨oge K → E , λ → λ1E , in E eingebettet. 6 einfach ist. Daher folgt aus Aufgabe 10, dass ZA (B) einfach ist. 5 da A zentral Z(B) . Da Z(B) ⊂ Z(ZA (B)) ist, folgt Z(B) = Z(ZA (B)) . Zeige nun, wie oben angek¨ undigt: Behauptung. ZA⊗K E (K ⊗K (B)) ZA⊗K E (B ⊗K K) . Beweis. Es ist A ⊗K E eine Azumaya-Algebra u ¨ber K .

Beweis. 6. 3. (iii)=⇒(i): Nach (iii) gibt es nach Wahl einer Basis von A u ¨ber K einen Isomorphismus ∼ ϕ : A ⊗K Aop → Mr×r (K) so, dass ϕ(a ⊗ 1) = a .. 0 . 0 ur alle a ∈ A gilt. Da Mr×r (K) einfach f¨ a ist, ist also auch A einfach, vgl. Aufgabe 10. 5  ϕ 1 .. 2 0 Es folgt a ∈ K wegen ϕ(a ⊗ 1) = a 0 .. 0 .  0  . 1 ∈ Mr×r (K) . Also ist A a eine zentrale K-Algebra. 7 ist A ⊗K K eine zentrale, einfache K-Algebra, und also gilt A ⊗K K Mn×n (D) mit einem (endlich-dimensionalen) Schiefk¨ orper D u ¨ber K , vgl.

8). Es folgt i=1 x = gj h h(gj h )−1 n = gj h hh ∈H −1 gj−1 ∈ gi Hgi−1 . i=1 Sei |X| die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge X . 8 (|H| − 1)n + 1 nach der Behauptung, da |gi Hgi−1 | = |H| und 1 ∈ gi Hgi−1 ∀ i = |H|n − n + 1 . Dies ergibt n = 1 und |H| = |G| . Da H ⊂ G gilt, folgt H = G . 2 Satz von Wedderburn (1905) Satz. Jeder endliche Schiefk¨ orper ist kommutativ. Beweis. Sei D ein Schiefk¨orper mit endlich vielen Elementen, und sei K = √ ur jeden Z(D) das Zentrum von D . 4 gilt dimK L = dimK D f¨ maximalen Teilk¨ orper L von D .

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Brauergruppen: LATEX-Bearbeitung von Ole Riedlin by Ina Kersten


by Richard
4.0

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